Про існування ізольованого періодичного розв'язку нелінійного диференціального рівняння типу Лієнара

Анотація

Рівняння Лієнара – диференціальне рівняння другого порядку, яке використовується при моделюванні автоколивальних систем, що підтримують стабільний ритм без зовнішнього втручання. Головна особливість полягає в тому, що за певних умов рівняння має єдиний стійкий граничний цикл. Це означає, що система завжди виходить на один і той самий ритм коливань, незалежно від початкових умов, тобто повертається до свого робочого ритму, навіть якщо її сильно "штовхнути". Це робить складні пристрої та живі організми передбачуваними та надійними. Метою роботи є отримання умов існування ізольованого періодичного розв'язку нелінійного диференціального рівняння другого порядку типу Лієнара, що є однією з актуальних проблем якісної теорії нелінійних диференціальних рівнянь. Досліджуване рівняння описує характер стаціонарних процесів, які мають вагомий вплив на структуру багатьох рухів в реальному житті. Методи доведення відносяться до прямих (аналітичних) методів, зокрема – заміна змінної, інтегрування, використання інтегральних перетворень. Результати, отримані в процесі вивчення властивостей узагальненого нелінійного диференціального рівняння типу Лієнара, описують виникнення нелінійних коливань. Висновки: сформульовано умови існування єдиного періодичного розв'язку, якому на фазовій картині відповідає стійкий граничний цикл.